回到平面直角坐标系$x-y$平面。我们将介绍两个特殊的矢量，单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，分别指向$x$轴和$y$轴的正方向，长度为1，如图2.3所示。
如果还有$z$轴，它与纸面垂直，会相应地定义单位矢量$\boldsymbol k$。现在先不考虑。
图2.3 单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，它们可用以表示出任一矢量$\boldsymbol A = A_x \boldsymbol i + A_y \boldsymbol j$。
如图2.3所示，在$x-y$平面上，有某个矢量$\boldsymbol A$，图上还有两个用虚线箭头表示的矢量，分别沿$x$轴和$y$轴正方向，长度分别为$A_x$和$A_y$，因此这两个虚线箭头表示的矢量分别为$A_x \boldsymbol j$和$A_y\boldsymbol j$。根据矢量加法规则，矢量$\boldsymbol A$是两个虚线箭头表示的矢量的和，即
\begin{equation}
\boldsymbol A = A_x \boldsymbol i + A_y \boldsymbol j
\label{2.5}\tag{2.5}
\end{equation}
矢量$\boldsymbol A$与$x$轴夹角是$\theta$，由三角学知识，有
\begin{equation}
A_x = A\cos\theta
\label{2.6}\tag{2.6}
\end{equation}
\begin{equation}
A_y = A\sin\theta
\label{2.7}\tag{2.7}
\end{equation}
$A_x$和$A_y$分别称为$\boldsymbol A$的$x$分量和$y$分量，或称为沿$x$轴和$y$轴的投影。
已知矢量的分量，可得矢量的长度
\begin{equation}
A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}
\label{2.8}\tag{2.8}
\end{equation}
也可计算矢量与x轴的夹角
\begin{equation}
\theta=\arctan \frac{A_y}{A_x}
\label{2.9}\tag{2.9}
\end{equation}
单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$可以将平面内的任意矢量表示出来，它们称为基矢或基底。
给出数对$(A_x,A_y)$，就能表示出一个矢量。这是表示矢量的更常用的方法，比画箭头更常用。比如，我们用位置矢量（简称位矢）$\boldsymbol r$表示质点的位置，可以用其分量表示为
\begin{equation}
\boldsymbol r = x \boldsymbol i + y \boldsymbol j
\label{2.10}\tag{2.10}
\end{equation}
$\boldsymbol r$的增量是位移矢量，简称位移，例如图2.2中两次远足的$\boldsymbol A$和$\boldsymbol B$。
做矢量加法也可以免去画箭头了，按如下方法计算：
\begin{align}
\boldsymbol A + \boldsymbol B=& A_x \boldsymbol i + A_y \boldsymbol j + B_x \boldsymbol i + B_y \boldsymbol j \tag{2.11} \\
=& (A_x+B_x)\boldsymbol i+(A_y+B_y)\boldsymbol j \tag{2.12}
\end{align}
所以，所求的和$\boldsymbol C$是一个矢量，分量分别为$(A_x+B_x,A_y+B_y)$。
综上，如果
\begin{equation}
\boldsymbol C = \boldsymbol A + \boldsymbol B
\label{2.13}\tag{2.13}
\end{equation}
那么
\begin{equation}
C_x=A_x+B_x
\label{2.14}\tag{2.14}
\end{equation}
\begin{equation}
C_y=A_y+B_y
\label{2.15}\tag{2.15}
\end{equation}
即：矢量相加即将分量分别相加。
一个重要的结论：当且仅当$A_x=B_x$且$A_y=B_y$时，有$\boldsymbol A=\boldsymbol B$。$\boldsymbol A=\boldsymbol B$这个矢量方程其实是两个方程的缩写。